有监督与无监督学习，KNN与KMeans

从有监督学习到无监督学习

有监督学习和无监督学习，是机器学习两个大的类别。我们之前讲的都是有监督学习，毕竟有监督学习现阶段还是机器学习在实际应用中的主流。

有监督学习（Supervised Learning）

所谓有监督学习，即：

训练数据同时拥有输入变量（$x$）和输出变量（$y$）；
用一个算法把从输入到输出的映射关系——$y = f(x)$——学习出来；
当我们拿到新的数据 $x'$ 后，就可以通过已经被学习出的 $f(\cdot)$，得到相应的 $y'$。

有监督学习就像在学校上课——老师给我们留作业，盯着我们做作业，再给我们判作业。

每道作业题（输入变量），都有正确答案（输出变量）；而整个算法运行的过程，就像有一个老师在监督着学生的每个解答，跟随指导，一旦出现错题立刻予以纠正——把有可能“跑偏”的参数给“拽”回来。

等到老师觉得学生已经掌握了现在的知识，就可以下课了——有监督学习在算法获得可接受的性能之后便停止。

无监督学习（Unsupervised Learning）

无监督学习和有监督学习相对，即：

训练数据只有输入变量（$x$），并没有输出变量；
无监督学习的目的是将这些训练数据潜在的结构或者分布找出来，以便于我们对这些数据有更多的了解。

无监督学习没有正确答案也没有老师，只有算法自己在数据中探索，去发现蕴含在数据之中的有趣结构。

比较起来，有监督学习可以类比人类学习已有知识；而无监督学习则更像是去探索新的课题。

半监督学习（Semi-supervised Learning）

还有一种介于有监督和无监督之间的半监督学习，或者说是一种混合应用有监督和无监督学习的方法。

它所对应的场景是：有一部分训练数据的输入变量（$x$）有对应的输出变量（$y$），另一些则没有。

有监督学习虽然有效，但标注数据（给训练数据的 $x$ 指定正确的 $y$）在目前还是一种劳动力密集型的人工劳动，所需投入巨大。

在现实当中，出现了一些问题，如果用有监督学习效果会比较好，可惜标注数据太少，大量数据都没有被人工标注过。

在这种情况下，我们可以尝试：

首先，用无监督学习技术来发现和学习输入变量的结构；
然后，用有监督学习对未标注数据的输出结果进行“猜测”；
最后，再将带着猜测标签的数据作为训练数据训练有监督模型。

这就是半监督学习。

下图可见这三类学习算法的差异：

发展趋势

单纯就机器学习而言，目前，无论是模型、算法的研究还是在实际问题上的应用，都以有监督学习为主流。

原因很简单：有监督学习的预测结果可控，优化目标明确，因此只要方法得当，数据质量好，一般模型质量也能比较好。

而无监督学习呢，最终能得出什么结果，可能建模的人自己都不知道；有了结果也不知道往哪个方向去调优；现有的数据好不容易调出了一个可以接受的结果，新数据进来，重新学习后的模型和之前大相径庭……

不过随着大数据时代的来临，各行各业各类数据存量和增量迅速攀升，无监督学习的重要性也随之悄然提升。

究其原因，还是那个最简单的因素：成本——对有监督学习而言，没有标注数据，一切都是空谈，而标注工作需要投入大量人工成本：

有些数据，虽然样本标注相对简单，但因为和业务结合紧密而随时需要调整标注原则；
有些数据，需要的标注量极大，比如图片标注，一张人体或人脸图片就需要标出少则十几个多则几十个关键点；
还有些数据，需要深厚的领域知识才有可能做出标注，比如医学图像的诊断等；

而所有的数据当被派遣给不同的标注人做标注后，又都面临着一致性的问题。

一面是大量易得的源数据，另一面是高昂的标注成本。这种客观的情况，也促进了半监督学习等中间地带方法的出现和应用。

当然，从实际的效用角度而言，真正应用于实际问题解决的模型还是以有监督学习为主。不过在当前大数据技术普及的背景之下，数据分析，机器学习，特别是深度学习方法的研究中，无监督学习越来越被重视。

从今天开始，我们就要进入无监督模型的学习。首先，我们来讲讲：KNN。

其实 KNN 是一个有监督学习算法，为什么要放在无监督学习的第一课来讲呢？这个稍后再解释。

KNN 算法

KNN（K-Nearest Neighbor，译作 K-近邻居）算法，是一种既可以用于分类，又可以用于回归的非参数统计方法。

KNN 是一种基于实例的学习，是所有机器学习算法中最简单的一个。

KNN 算法原理

KNN 算法的基本思想是：

训练数据包括样本的特征向量（$x$）和标签（$y$）；
$k$ 是一个常数，由用户来定义；
一个没有标签的样本进入算法后，首先找到与它距离最近的 $k$ 个样本，然后用它这 $k$ 个最近邻居的标签来确定它的标签。

KNN 算法的步骤如下。

算距离：给定未知对象，计算它与训练集中的每个样本的距离——特征变量是连续的情况下，将欧氏距离作为距离度量；若特征是离散的，也可以用重叠度量或者其他指标作为距离，这要结合具体情况分析。
找近邻：找到与未知对象距离最近的 $k$ 个训练样本。
做分类/回归：在这 $k$ 个近邻中出现次数最多的类别作为未知对象的预测类别（多数表决法），或者是取 $k$ 个近邻的目标值平均数，作为未知对象的预测结果。

多数表决法有个问题：如果训练样本的类别分布不均衡，出现频率较多的样本将会主导预测结果。

这一问题的解决办法有多种，其中常见的一种是：不再简单计算 $k$ 个近邻中的多数，而是同时考虑 $k$ 个近邻的距离，$k$ 近邻中每一个样本的类别（或目标值）都以距离的倒数为权值，最后求全体加权结果。

有监督学习算法 KNN VS 无监督学习算法 KMeans

前面说了，KNN 是有监督学习模型。无论是做分类还是做回归，KNN 的每个训练样本都带有一个标签（目标值或类别）。

既然是有监督学习算法，我们为什么样要放在这一章讲呢？就是为了和 KMeans 做对比!

为什么要和 KMeans 做对比呢？

原因之一是：这两个算法虽然非常不同，但却经常被初学者搞混，可能是因为名字乍看有几分形似吧。

原因之二是：两者都有一个 $k$——这个 $k$ 还都是一个需要用户主动指定的常数。两个 $k$ 虽然含义和作用不同，但在重要性程度和取值的“艺术性”上，却颇有些异曲同工之妙。

KNN 的 k

在 KNN 算法中，假设训练样本一共有 $m$ 个，当一个待预测样本进来的时候，它要与每一个训练样本进行距离计算，然后从中选出 $k$ 个最近的邻居，根据这 $k$ 个近邻标签确定自己的预测值。

此处的 $k$，是一个正整数。若 $k = 1$，则该对象的预测值直接由最近的一个样本确定。若 $k=m$，则整个训练集共同确定待测样本。

通常情况下，$k > 1$，但也不会太大，是一个较小的正整数。具体取何值最佳，则取决于训练数据和算法目标。

一般情况下， $k$ 值越大，受噪声的影响越小；但 $k$ 值越大，也越容易模糊类别之间的界限。

比如下面这个例子，用 KNN 做分类，黄色为 A 类，紫色为 B 类，红色的是待测样本。

当我们取 $k=3$ 时，根据多数选举法，预测结果为 B；但当 $k=6$ 时，依然是根据多数选举法，预测结果就成为了 A。

可见，$k$ 的取值大小，直接影响着算法的结果。

当然，超参数的选择并不是 KNN 独有的问题，而是一个机器学习常见的共性问题。

专门有一系列超参数最优化方法（例如网格搜索法、随机搜索法、贝叶斯最优化法等），来帮助我们选择最佳的超参数。

因为 $k$ 是 KNN 算法唯一的超参数，因此，它对于 KNN 尤其重要。这一点和 KMeans 的 $k$ 参数之于 KMeans，颇为神似。

什么是聚类（Clustering）

聚类并非一种机器学习专有的模型或算法，而是一种统计分析技术，在许多领域得到广泛应用。

广义而言，聚类就是通过对样本静态特征的分析，把相似的对象，分成不同子集（后面我们将聚类分出的子集称为“簇”），被分到同一个子集中的样本对象都具有相似的属性。

在机器学习领域，聚类属于一种无监督式学习算法。

许多聚类算法在执行之前，需要指定从输入数据集中产生的分簇的个数。除非事先准备好一个合适的值，否则必须决定一个大概值，这是当前大多数实践的现状。我们今天要讲的 KMeans 就是如此。

常用的几种距离计算方法

通常情况下，在聚类算法中，样本的属性主要由其在特征空间中的相对距离来表示。这就使得距离这个概念，对于聚类非常重要。

在正式讲解聚类算法之前，我们先来看几种最常见的距离计算方法。

欧氏距离（又称 2-norm 距离）

在欧几里德空间中，点 $x =(x_1,...,x_n)$ 和 $y =(y_1,...,y_n)$ 之间的欧氏距离为：

$ {d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}} $

在欧几里德度量下，两点之间线段最短。

余弦距离（又称余弦相似性）

两个向量间的余弦值可以通过使用欧几里德点积公式求出：

${{a} \cdot {b} =\left|{a} \right|\left|{b} \right|\cos \theta } $

所以：

$\cos(\theta) = \frac{ {a} \cdot {b}} {|| {a}|| \ || {b} ||}$

也就是说，给定两个属性向量 $A$ 和 $B$，其余弦距离（也可以理解为两向量夹角的余弦）由点积和向量长度给出，如下所示：

$\cos(\theta )={A\cdot B \over |A||B|}={\frac {\sum \limits_{{i=1}}^{{n}}{A_{i}\times B_{i}}}{{\sqrt {\sum \limits_{{i=1}}^{{n}}{(A_{i})^{2}}}}\times {\sqrt {\sum \limits_{{i=1}}^{{n}}{(B_{i})^{2}}}}}}$

这里的 $ A_{i}$ 和 $B_{i}$ 分别代表向量 $A$ 和 $B$ 的各分量。

给出的余弦相似性范围从 $-1$ 到 $1$：

$-1$ 意味着两个向量指向的方向截然相反；
$1$ 表示它们的指向是完全相同的；
$0$ 则表示它们之间是独立的；
$[-1, 1]$ 之间的其他值则表示中间程度的相似性或相异性。

曼哈顿距离（Manhattan Distance, 又称 1-norm 距离）

曼哈顿距离的定义，来自于计算在规划为方型建筑区块的城市（如曼哈顿）中行车的最短路径。

假设一个城市是完备的块状划分，从一点到达另一点必须要沿着它们之间所隔着的区块的边缘走，没有其他捷径（如下图）：

因此，曼哈顿距离就是：在直角坐标系中，两点所形成的线段对 $x$ 和 $y$ 轴投影的长度总和。

从点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$，曼哈顿距离为：

${ \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|} $

其他距离

除了上述最常用的几种距离之外，还有其他多种距离计算方法，例如：Infinity norm（又称 Uniform norm，一致范式）、马氏距离、汉明距离（Hamming Distance）等。

在本课的例子中，计算距离时，如无特别说明，采用的都是欧氏距离。

KMeans

什么是 KMeans

简单来说，KMeans 是一种聚类方法，$k$ 是一个常数值，由使用者指定，这种算法负责将特征空间中的 $n$ 个向量聚集到 $k$ 个簇中。

比如，下图就是一个 $k=3$ 的 KMeans 算法聚类前后的情况。

算法步骤

其算法运行过程大致如下：

Step 0：用户确定 $k$ 值，并将 $n$ 个样本投射为特征空间（一般为欧氏空间）中的 $n$ 个点（$k \leqslant n$）；

Step 1：算法在这 $n$ 个点中随机选取 $k$ 个点，作为初始的“簇核心”；

Step 2：分别计算每个样本点到 $k$ 个簇核心的距离（这里的距离一般取欧氏距离或余弦距离），找到离该点最近的簇核心，将它归属到对应的簇；

Step 3：所有点都归属到簇之后，$n$ 个点就分为了 $k$ 个簇。之后重新计算每个簇的重心（平均距离中心），将其定为新的“簇核心”；

Step 4：反复迭代 Step 2 - Step 3，直到簇核心不再移动为止。

算法的执行过程可用下图直观地表现出来：

计算目标和细节

上面给出的 Step 3 在一次各个点归入簇中的迭代完成后，要重新计算这个簇的重心位置。

重心位置是根据簇中每个点的平均距离来计算的。这个平均距离如何算出？

要明确算法细节，首先要搞清楚 KMeans 算法的目标——在用户提供了 $k$ 值之后，以一种什么样的原则来将现有的 $n$ 个样本分成 $k$ 簇才是最理想的？

目标

有 $n$ 个样本 $(x_1, x_2, …, x_n)$，每个都是 $d$ 维实向量，KMeans 聚类的目标是将它们分为 $k$ 个簇（$k \leqslant n$)，这些簇表示为 $S = (S_1, S_2, …, S_k)$。

KMeans 算法的目标是使得簇内平方和（Within-cluster Sum of Squares，WCSS ）最小：

$min \sum_{i=1}^{k}\sum_{ {x} \in S_{i}}\left| {x} -{{\mu }}_ {i}\right|^{2}$

其中 $\mu_i$ 是 $S_i$ 的重心。

分配

Step 2 又叫做分配（Assignment）。

设此时为时刻 $t$，$t$ 时刻 $S_i$ 的簇核心为 $\mu_i^{(t)}$。

将某个样本点 $x_p$ 归入到簇 $S_i^{(t)}$ 的原则是：它归入该簇后，对该簇 WCSS 的贡献最小：

$S_{i}^{{(t)}}=
\begin{Bmatrix}
x_{p}:\left|x_{p}-\mu_{i}^{{(t)}}\right|^{2}\leqslant \left|x_{p}-\mu_{j}^{{(t)}}\right|^{2} \ \ \forall j,\ \ 1\leqslant j\leqslant k
\end{Bmatrix}$

因为 WCSS 等于簇中各点到该簇核心的欧氏距离平方和，又因为在每次进行 Step 2 之前，我们已经认定了当时所有簇的簇核心 $\mu_i^{(t)}，i=1,2, ..., k$ 已经存在。

因此只要把 $x_p$ 分配到离它最近的簇核心即可。

注意：尽管在理论上 $ x_{p}$ 可能被分配到 $2$ 个或者更多的簇，但在实际操作中，它只被分配给一个簇。

更新

Step 3 又叫做更新（Update）。

这一步要重新求簇核心，具体计算非常简单，对于该簇中的所有样本求均值就好：

$ \mu_{i}^{{(t+1)}}={\frac {1}{\left|S_{i}^{{(t)}}\right|}}\sum_{{x_{j}\in S_{i}^{{(t)}}}}x_{j}$

其中 $|S_i|$ 表示 $S_i$ 中样本的个数。

启发式算法

启发式算法（Heuristic Algorithm）：是一种基于直观或经验构造的算法。

相对于最优化算法要求得待解决问题的最优解，启发式算法力求在可接受的花费（消耗的时间和空间）下，给出待解决问题的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度一般不能被预计。

启发式算法常能发现不错的解，但也没办法证明它不会得到较坏的解；它通常可在合理时间解出答案，但也没办法知道它是否每次都可以这样的速度求解。

虽然有种种不确定性，且其性能无法得到严格的数学证明，但启发式算法直观、简单、易于实现。

即使在某些特殊情况下，启发式算法会得到很坏的答案或效率极差，然而造成那些特殊情况的数据组合，也许永远不会在现实世界出现。

因此现实世界中启发式算法常用来解决问题。

上面我们讲的是最常见的用于实现 KMeans 的启发式算法：Lloyd's 算法。

Lloyd's 算法是一种很高效的算法，通常情况，它时间复杂度是 $O(nkdi)$，其中 $n$ 为样本数，$k$ 为簇数，$d$ 为样本维度数，而 $i$ 为从开始到收敛的迭代次数。

如果样本数据本身就有一定的聚类结构，那么收敛所需的迭代次数通常是很少的，而且一般前几十次迭代之后，再进行迭代，每次的改进就很小了。

因此，在实践中，Lloyd's 算法往往被认为是线性复杂度的算法，虽然在最糟糕的情况下时间复杂度是超多项式（Superpolynomial）的。

目前，Lloyd's 算法是 KMeans 聚类的标准方法。

当然，每一次迭代它都要计算每个簇中各个样本到簇核心的距离，这是很耗费算力的。

不过好在，大多数情况下，经过头几轮的迭代后，各个簇就相对稳定了，大多数样本都不会再改变簇归属，可以利用缓存和三角形公理来简化后续的计算。

局限

KMeans 简单直观，有了启发式算法后，计算复杂度也可以接受，但存在以下问题。

$k$ 值对最终结果的影响至关重要，而它却必须要预先给定。给定合适的 $k$ 值，需要先验知识，凭空估计很困难，或者可能导致效果很差。
初始簇核心一般是随机选定的，偏偏它们又很重要，几乎可以说是算法敏感的——一旦选择的不合适，可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解。当然，这也是由 KMeans 算法本身的局部最优性决定的。

这也就造成了 KMeans 的应用局限，使得它并不适合所有的数据。

例如，对于非球形簇，或者多个簇之间尺寸和密度相差较大的情况，KMeans 就处理不好了。

实例（对比 KMeans 和 KNN）

KMeans 实例

下面是一个简单的 KMeans 实例，其中的训练样本是10个人的身高（cm）、体重（kg）数据：

from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.array([[185.4, 72.6], [155.0, 54.4], [170.2, 99.9], [172.2, 97.3], [157.5, 59.0], [190.5, 81.6], [188.0, 77.1], [167.6, 97.3], [172.7, 93.3], [154.9, 59.0]])

kmeans = KMeans(n_clusters=3, random_state=0).fit(X)
y_kmeans = kmeans.predict(X)
centroids = kmeans.cluster_centers_

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=50);
plt.yticks(())
plt.show()

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, s=50, cmap='viridis')
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c='black', s=200, alpha=0.5);
plt.show()

原始训练输入如下：

KMeans 聚类后，它们被分到3个簇：

我们可以预测一下两个新的样本：

print(kmeans.predict([[170.0, 60], [155.0, 50]]))

得到输出如下：

[1 1]

1 对应的是哪个簇呢？我们看看训练样本的归属：

print(y_kmeans)

输出为：

[0 1 2 2 1 0 0 2 2 1]

可见，1 对应的是分簇图中左下角的那一簇。

KNN 实例

同样的问题，如果我们要用 KNN 来解决，应该如何呢？我们指望只输入原始身高体重数据是不够的，还必须要给每组数据打上标签，将标签也作为训练样本的一部分。

如何打标签呢？我们就用上面 KMeans 的输出好了：

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

    X = [[185.4, 72.6],
    [155.0, 54.4],
    [170.2, 99.9],
    [172.2, 97.3],
    [157.5, 59.0],
    [190.5, 81.6],
    [188.0, 77.1],
    [167.6, 97.3],
    [172.7, 93.3],
    [154.9, 59.0]]
    y = [0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 1]

    neigh = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)
    neigh.fit(X, y)

然后我们也来预测和 KMeans 例子中同样的新数据：

print(neigh.predict([[170.0, 60], [155.0, 50]]))

最后输出结果为：